CIENCIA    BÁSICA

EXPERIMENTAL  PARA

ESTUDIANTES    DE

INGENIERÍA    QUÍMICA

 

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MÉTODO de los MÍNIMOS CUADRADOS


   En construcción

            INTRODUCCIÓN

            Cuando se dispone de una serie de datos experimentales, con mucha frecuencia resulta provechoso determinar la relación matemática entre las variables dependiente e independiente. Una forma por demás conveniente, es a través de una ecuación que se ajuste a los datos; en el caso de los datos experimentales, la ecuación de ajuste, se llama empírica y es muy particular tanto de los datos como del fenómeno mismo.

 

Una vez que se han localizado los pares ordenados (x, y) de un experimento en el plano cartesiano de un papel milimétrico, se traza o dibuja la línea curva, según sea la tendencia general de los puntos ordenados (x, y) para determinar el tipo de relación funcional  que existe entre las variables. Por lo general estas relaciones son cuatro formas básicas o fundamentales:

  • Lineales

  • Potenciales

  • Exponenciales

  • Logarítmicas

a partir de las cuales se puede identificar la representación de los datos experimentales, lo que a su vez facilitará la determinación de la curva empírica.

 

(1)

y = mx + b

en donde "m" representa la pendiente ó ángulo de inclinación de la línea. ésta puede ser positiva o negativa, y tiene un valor constante. De igual manera la ordenada al origen o intercepto "b" con el eje "y".

En el caso de las gráficas; potenciales, exponenciales y logarítmicas, estas presentan algunas características similares. Por ejemplo una gráfica potencial tiene por ecuación  la siguiente expresión:

(2)

donde “b” es una constante: si  la  pendiente es positiva (m>0 se tiene una curva parabólica simple, en cambio si la pendiente es negativa (m<0), la curva es de tipo hiperbólica, aunque ambas curvas sean potenciales que de paso sea dicho son un caso particular de las curvas llamadas polinómicas. Estas graficas pueden ser linearizadas o transformadas a línea recta en virtud de que, aplicando un cambio de variable a la ecuación de la siguiente manera:

(3)

La ecuación potencial  cambia a una estructura de tipo lineal. En el caso de las ecuaciones exponenciales cuya ecuación de la forma:

(4)

Como en el caso anterior, la linearización de la ecuación exponencial se logra aplicando logaritmos a ésta, de la siguiente manera:

(5)

De la misma manera las ecuaciones logarítmicas se pueden linearizar, transformándose en:

(6)

 

Si consideramos a los cuatro tipos de ecuaciones:

 

(7)

 

para graficarlas solo se requieren conocer los valores de “m” y “b”. Así que estadísticamente un método general para determinar dichos parámetros, es el método de los mínimos cuadrados, que es el de mayor exactitud  y confiabilidad.

El método de los mínimos cuadrados postula que la mejor recta que pasa por los puntos (pares ordenados x,y) será aquella cuya suma de los cuadrados de los residuos sea mínima o tienda a cero. Es decir:

(8)

esto significa que si deseamos estimar la reproducibilidad entre varias medidas de la misma magnitud o propiedad, siempre se presenta una desviación del valor medido en una magnitud "d", la cual se define como:

d = Valor medido - valor promedio de las varias medidas

 

(9)

Esto es, se pretende calcular una función generada a partir de los datos experimentales, por lo que se plantea: 

(10)

que no necesariamente es la "y" medida experimentalmente, de tal manera que si la función calculada es una línea recta entonces:

(11)

por lo que:

(12)

Como se desea un mínimo de la suma de las desviaciones, se deriva en forma parcial con respecto a “m” y “b”.

(13)

 

(14)

 

(15)

 

(16)

Para encontrar el mínimo hay que igualar la primera derivada a cero, y despejando.

 

 

Bibliografía básica:

 
  1.  R. Masterton, Matemáticas para Químicos. CECSA, México.     

Web Bibliografía básica:

 
  1.  La Seguridad en los Laboratorios de Prácticas, Universidad de Alcalá, 1995, Comisión de Seguridad y Salud Laboral

     http://www2.uah.es/edejesus/seguridad.htm

 

  1. Estimación de la recta de regresión y del coeficiente de determinación. En la práctica, los cálculos relacionados con un análisis de regresión se efectúan por medio de programas de computadora, por lo que los...
    http://eumed.net/cursecon/medir/estima.htm

Web Bibliografía complementaria :

   
  1. Se conoce como regresión lineal, correlación de Pearson o método de mínimos cuadrados, al procedimiento de encontrar la ecuación de la recta "que mejor se ajuste a un conjunto de ...
    http://www.elosiodelosantos.com/regresionlineal.html

 

 

  

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Última modificación: 23 de Septiembre de 2014