CIENCIA    BÁSICA

EXPERIMENTAL  PARA

ESTUDIANTES    DE

INGENIERÍA    QUÍMICA

 

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DERIVADA


Estudio breve del concepto de la Derivada

EL PROBLEMA DE LA TANGENTE  

               El problema de la tangente, ha sido de gran interés para los matemáticos desde la época de los griegos.  El estudio de una recta tangente a una curva en un punto especifico de la misma, fue resuelto de varias maneras en un gran numero de ejemplos. Sin embargo, no fue sino hasta la época de Newton (1642 - 1727) y Leibniz (1646 - 1716) cuando se estableció un método general sistemático para obtener la solución. Actualmente muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden estudiarse en una estrecha relación con el mismo.

Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poca importancia a los no matemáticos     , el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema, son la columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un ejemplo diferente, pero de alguna manera similar, es el de una titilación en una reacción ácido -  base, cuando se conoce que la razón de desaparición en cada instante del ácido, es proporcional a la cantidad de la base adicionada. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremos designar con la palabra razón. Este concepto está íntimamente ligado con la pendiente de la recta tangente a una curva, y que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones hace indistinguible de la formulación del problema de tangente.

Si empezamos por abordar el problema de la tangente en términos geométricos, la figura inferior, ilustra  un procedimiento intuitivamente satisfactorio de trazar una tangente a una curva continua "C" en un punto "P". Luego, si se hace girar esta línea tangente alrededor del mismo punto, esta línea cruzará la curva en algún otro punto al que llamaremos "q" y en este caso la "tangente      " cambia su nombre a  "secante    " de la curva.

A medida que el punto "q" se aproxima al punto "P", la secante gira alrededor del punto "P" y parece llegar a una posición límite, la cual es la de la recta "PT" que en "P" coincide en dirección con la curva. En este sentido, si consideramos a la recta "PT" como el límite de la secante "PQ". Esta  idea aparentemente fútil motiva la siguiente definición  

DEFINICIÓN: Sea "PQ" una secante que pasa por los puntos "P" y "q" de una curva continua "C". El límite (si existe) de la secante cuando "q" se aproxima a "P" a lo largo de la curva "C" se llama tangente a la curva en "P".

Supóngase que la ecuación de la curva de la figura siguiente, está dada en la forma; y = f (x), donde "f" es una función continua  siendo "x , y" las coordenadas usuales. Se pide trazar la tangente en un punto P (xo , yo ) de la curva. Se desea aplicar la definición anterior y por lo tanto se considera otro punto q (x , y ) de la curva. Los puntos "P" y "q" determinan una secante cuya pendiente es;

Suponiendo que la curva tienen una tangente "PT", hallamos que cuando "q" se aproxima a "P" a lo largo de la curva, el ángulo de inclinación "τ" se aproxima al ángulo de inclinación "α" de la tangente, esto es;

lím   Θ = α

                                                                                       q →P

Como la pendiente de la secante se aproxima a la pendiente de la tangente, entonces resulta que el;

   lím    tan Θ = tan α

                                                                                 q → P

Como para cada punto ( x, y) de la curva, tenemos que; y = f (x), las coordenadas de "P" pueden escribirse como (xo , f (xo)), y las de "q" (x , f (x)). En consecuencia;

qP Û x xo

DEFINICIÓN: La pendiente m (xo) de la tangente a la curva con ecuación y = f (x) en el punto (xo , yo ), es;

siempre que el límite exista.

Puesto que muchos problemas implican este mismo tipo de límite, es útil evitar toda relación con este problema particular, por lo que; a estos límites se les ha dado un nombre exento de cualquier alusión.

DEFINICIÓN: Si el

   existe,

se llama "Derivada" de f en xo, y se designa por  f ' (xo ).

 

Siendo más frecuente y más simple escribir;  x = xo + h , de modo que;  x xo cuando;  h →0. Por lo anterior,  la Derivada se escribe de manera muy común en la forma:

OBJETIVO 

El objetivo principal que se pretende lograr en la presentación del tratamiento del concepto de la derivada es con el fin de introducir al alumno en el manejo del punto de equivalencia en una reacción ácido - base en una titilación potenciométrica y su determinación a través del concepto de la primera derivada. 

 JUSTIFICACIÓN 

Este tratamiento teórico tiene como finalidad reforzar en el alumno los conocimientos adquiridos en la asignatura de matemáticas, para aplicarlos en los proyectos experimentales del curso de laboratorio de Ciencia Básica, con el fin de integrar los conceptos matemático y químico, en la formación del futuro ingeniero químico.

REFERENCIAS 

"Referencias En construcción el contenido de esta sección está sujeto a cambios"

Bibliografía básica:

 
  1. Jack R. Britton, R. B. Kriegh, L. W. Rutland, Matemáticas Universitarias, Tomo I, CECSA, México, 1968, pp. 747.

  2. Lehmann, Geometría Analítica, Editorial Limusa, México, 1990, pp. 493.

Bibliografía complementaria:

 
  1. Crank J. “The mathematics of diffusion”, second edition, Oxford Science Publications, New York, pp 5., 2000

Web Bibliografía básica:

 
  1. La Seguridad en los Laboratorios de Prácticas, Universidad de Alcalá, 1995, Comisión de Seguridad y Salud Laboral                                                                           http://www2.uah.es/edejesus/seguridad.htm

  2. Derivada, El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial es la derivada de una función                                                                                                             http://www.derivadas.es/definicion.htm

 

 

 

 

 

 

 

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Última modificación: 14 de Diciembre de 2014